La transformada de LAPLACE y su aplicación en la Instrumentación y Control Industrial
Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.
¿Qué es la Transformada de Laplace?
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Modelo matemático
Se ha comprobado que las técnicas de transformada de Laplace y linealización son particularmente útiles para el análisis de la dinámica de los procesos y diseño de sistemas de control, debido a que proporcionan una visión general del comportamiento de gran variedad de procesos e instrumentos.
Definición
¿Para qué sirve la Transformada de Laplace?
Para hacer que los cálculos sean más fáciles en ciertas situaciones.
Así sea más fácil trabajar con ellas, y resolver los problemas de forma más rápida.
Por ejemplo, en electrónica se usa para pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, ondas que a simple vista parecen muy difíciles de analizar, porque la variable independiente es el tiempo, se pueden transformar en una serie de funciones cuya variable independiente es la frecuencia angular.
Transformada de Laplace y Teoría de Control
EJEMPLOS HISTORICOS #1
La idea de que un reloj de agua pudiera realizar una función
automática se le ocurre a Platón. Los alumnos de Platón tenían ciertas
dificultades para levantarse por la mañana, lo cual era fuente de
discusiones todos los días. Por lo cual Platón diseña un sistema de
alarma basándose en una Clepsydra. En el vaso de la Clepsydra se ubicó
un flotador encima del cual se depositan unas bolas. Durante la noche se
llenaba el vaso y al amanecer alcanzaba su máximo nivel y las bolas
caían sobre un plato de cobre. Y así los alumnos terminarían por
levantarse.
OTRO EJEMPLO ES EL RELOJ DE AGUA DISEÑADO EN EL SIGLO III
Por H. Diel, Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables mecanismos basados en el control como dispensadores de grano y vino o reguladores para molinos de viento
Hasta el siglo XVII se desarrollan innumerables mecanismos basados en el control como dispensadores de grano y vino o reguladores para molinos de viento.
LA REVOLUCION INDUSTRIAL
Los mecanismos reguladores se desarrollan en la Revolución Industrial. Gracias, en gran parte a la introducción de la máquina de vapor en sus vidas. Esto, conllevó que se necesitasen distintos artilugios para controlar sus aplicaciones. En 1778, James Watt diseñó controlador centrífugo para la velocidad de su máquina de vapor, cuyo tipo es aún usado con pequeñas modificaciones
Aunque ya existiesen sistemas de control aún no existía una Teoría de Control Automático, dado que ni siquiera existían las herramientas matemáticas necesarias para ello.
EL DESARROLLO TEORICO
LAS GUERAS MUNDIALES
Durante las guerras mundiales el desarrollo de los sistemas de control
realimentados se transformaron en una forma de supervivencia. Se exigió
el desarrollo de una serie de nuevos componentes de control y de una
teoría de control completamente nueva, necesaria por los complejos
sistemas propuestos,.Debido al secreto militar, las publicaciones fueron
muy limitadas y solo hasta 1945 se conocieron los adelantos que se
habían logrado. En la cuarta y quinta décadas del siglo pasado fueron
introducidos el concepto de función de transferencia de frecuencia y el
uso de cálculo de transformaciones.
ERA DEL CONTROL MODERNO
De 1945 a 1950 se consolidaron los avances realizados durante la guerra, se publicaron los primeros libros sobre servomecanismos y algunas universidades del mundo empezaron a ofrecer cursos sobre control automático. La teoría desarrollada hasta fines de los años cuarenta estaba relacionada con sistemas lineales continuos. El análisis y la síntesis de sistemas de control eran basados en el método de tanteos. Alrededor de 1950, Evans introdujo su llamado método del lugar de raíces. Más o menos al mismo tiempo se desarrollaron los computadores digitales, cambiando el interés de los sistemas continuos a los sistemas discretos. Desde 1955 a la fecha, la ingeniería de control ha experimentado un desarrollo sin precedentes. Los computadores analógico y digital han alcanzando grandes niveles de perfeccionamiento y su disponibilidad es prácticamente universal. La mayoría de las universidades del mundo han desarrollado excelentes programas de ingeniería de control y ésta es una de las más populares áreas de investigación. Se han generado nuevas formas de control y se tiende a la optimización de los sistemas.
ALGO DE TEORIA
Transformada de Laplace: La Transformada de Laplace de una función f(t)
definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para
todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
Aplicación para el control y la instrumentación
En muchos procesos de la vida diaria está involucrada la Transformada de Laplace, ya que, es una forma precisa y directa utilizada en el control de dichos procesos, como por ejemplo:
- La Transformada de Laplace es una herramienta útil para resolver ecuaciones diferenciales, particularmente cuando se trata de sistemas lineales.
- Las ecuaciones dinámicas escritas en el dominio del tiempo (ecuaciones diferenciales respecto al tiempo) se transforman en el dominio de Laplace convirtiéndose en ecuaciones algebraicas, cuya resolución suele ser más sencilla.
- Debido
a que muchos sistemas de control son modelados con ecuaciones
diferenciales, la transformada de Laplace nos brinda herramientas para
analizar el sistema.
Propiedades de la Transformada de Laplace
LINEALIDAD
Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.
La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral.
Otras
Teoremas de la Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace y la Derivación
Uno de los principales motivos por los que la transformada de Laplace es ampliamente usada en ingeniería es porque constituye una herramienta fácil de usar y que permite resolver ciertas ecuaciones diferenciales.
Transformada de la derivada
Se dice que la función f ∈ ε es derivable a trozos si es continua, existen las derivadas laterales de f en cada punto de [0, +∞) y en cada subintervalo [a, b] ⊂ [0, +∞) existen a lo sumo una cantidad finita de puntos donde f no es derivable.
Si f es derivable a trozos, definimos f׳: [0, +∞) → C como f׳ (x) = f׳ +(x) para todo x ∈ [0, +∞). Es claro entonces que f׳ es una función continua a trozos, que coincidirá en casi todos los puntos con la derivada ordinaria.
La Transformada de Laplace y la Integración
Sea f : [0, +∞[ → C una función continua a trozos y de crecimiento exponencial de orden γ en infinito. Sea f ∈ ε y definamos la función.
La relación entre las Transformadas de Laplace de ambas funciones viene dada por el siguiente resultado.
Teoremas del valor final y del valor inicial
Estos teoremas permiten saber el valor inicia y final de la función temporal sin necesidad de realizar la operación de anti transformación.
Teoremas del valor inicial
Los resultados hacen alusión a aspectos cualitativos de la Transformada de Laplace de funciones de la clase ε.
Teoremas del valor final
Al igual que los resultados de la sección anterior el Teorema del valor inicial aporta información cualitativa de la Transformada de Laplace en conexión directa con la función de la cual es transformada.
INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f (t) a partir de la transformada de Laplace.
F(s) se denomina transformada inversa de Laplace.
La notación para la transformada inversa de Laplace se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:
La Transformada de Laplace cumple una serie de propiedades:
PIERRE- SIMON LAPLACE
APLICACIONES EN LA INDUSTRIA
La Transformada de Laplace es muy útil en el campo de los sistemas de control, automatización en procesos.
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso en el tiempo.
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
APLICACIONES ACTUALES
Grandes estructuras espaciales:
Es frecuente escuchar que el despliegue de una antena o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que han inutilizado completamente la estructura. Estos despliegues y acoplamientos de componentes deben basarse en el control
ROBOTICA
Existe la importancia de desarrollar métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo. Pero la Teoría del Control está también en el centro de gravedad en este campo. El desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para el control de los robots. No resulta difícil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.
CONTROL DE PLASMA. LA OBTENCIÓN DE REACCIONES DE FUCIÓN
CONTROL DE PLASMA
Controladas es uno de los mayores retos para resolver los problemas
energéticos del planeta. En la actualidad, una de las vías más
prometedoras es el de los tokomaks: máquinas en las que se confina el
plasma mediante mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es
mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy alta en
la configuración deseada durante intervalos de tiempo prolongados a
pesar de sus inestabilidades. Esto se realiza a través de sensores
mediante los cuales se obtiene la información necesaria para efectuar
cambios rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar las
perturbaciones del plasma
CONTROL DE COMBUSTIÓN
CONTROL DE FLUIDOS
Se trata de un problema con mucha importancia en aeronáutica puesto que
la dinámica estructural del avión (en sus alas, por ejemplo) está
acoplada con el flujo del aire en su entorno. Aunque en los aviones
convencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es
probable que los aviones del futuro tengan que incorporar mecanismos de
control para evitar la aparición de turbulencias en torno a las alas.
Desde un punto de vista matemático casi todo está por hacer, tanto en lo
que respecta a la modelización, al controly a los aspectos
computacionales
ECONOMIA
Las Matemáticas están jugando hoy en día un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la utilización de modelos matemáticos para predecir las fluctuaciones de los mercados financieros es algo común (mucha gente sueña con predecir los movimientos en Bolsa y poder volverse un “poco” rico). Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los que la Teoría del Control ya existente puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar estrategias óptimas de inversión y consumo.
Bibliografía
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Valenzuela, I. (20 de Noviembre de 2014). Transformada de Laplace y Teoría de Control. Obtenido de https://www.slideserve.com/neville-stephens/transformada-de-laplace-y-teor-a-de-control
https://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
https://sites.google.com/site/mpdl07071993/transformada-de-laplace-definicin-conceptos-bsicos
Video explicativo
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